Ажай нь Элбэг нигүүлсэгч хааны дүү Харгуцаг дүүрэн хунтайжийн хүү. Элбэг хаан өөрийн бэрийнхээ гоо үзэсгэлэнд татагдаж, дүү Харгуцаг дүүрэн хунтайжийг хороож түүний гэргий Өлзийт хун гоо бэйжийг өөртөө авах үед тэрээр жирэмсэн байжээ. Түүнийг 7 сартай жирэмсэн байхад Элбэг хааныг Ойрадын Үгэчи хашиха хөнөөж, Өлзийт хун гоо бэйжийг авч асарчээ. Түүнээс төрсөн хөвгүүн нь Ажай бөгөөд Ойрадад өсөж торнижээ. Гэвч Ойрадын Батула чинсангийн хатан Самур гүнжийн тусламжаар Ажай эхийнхээ хамт Зүүн Монголдоо буцаж иржээ. Улмаар Адай хаан, Аругтай тайш нарын хамт Ойрадыг довтолж Зэлмэн хан ууланд Батула чинсангийн хүү Багаму-г олзолжээ.

Ажай тайжаас гурван хөвгүүн төрсөн нь Тогтобух, Агбаржин, Мандуул юм. Тэд Хубилайн удмын хаанчлалыг дахин сэргээж, Монголын түүхэнд чухал үүрэг гүйцэтгэсэн билээ. Ажай тайжийн талаар сурвалжийн мэдээ маш хомс ажээ. (Ц.Цэрэндорж)